イベント
幾何学コロキウム： 共形擬サブリーマン基本階別リー環および pseudo \(H\)-type Lie algebra について（八ッ井智章 氏， 北海道大学）
2018年7月20日 開催
開催日時
2018年7月20日 16時30分 ～ 18時00分
場所
理学部３号館３－２０４室
講演者
八ッ井 智章 （北海道大学）
微分式系 \((M, D)\) の幾何学に於いて, 微分式系 \(D\) 上にリーマン計量 \(\tau\) があるとき \((M, D, \tau )\)はサブリーマン多様体と呼ばれる. これの一般化の一つの方向として, \(\tau\) を擬リーマン計量 \(\tau\) に替えることが考えられる.
一方で, \(D\) 上にリーマン計量 \(\tau\) をその共形類 \([\tau ]\) に置き換えることを考えると, \((M, D, [\tau ])\) は, 共形サブリーマン多様体 (またはサブ共形多様体) と呼ばれる. これの一般化として, \(\tau\) を擬リーマン計量 \(\tau\) に替えると, \((M, D, [\tau ])\) は, 共形擬サブリーマン多様体と呼ばれる. 以下では \(D\) が完全積分可能である場合を除外する. 共形擬サブリーマン多様体 \((M, D, [\tau ])\) に於いて, \(D\) に正則性と bracket-generating という条件を仮定すると, \(M\) の各点 x に対して, 表象代数と呼ばれる 基本階別リー環 (FGLA) \(\displaystyle \mathfrak{m}(x) = \bigoplus_{p<0} \mathfrak{g}_p (x)\) が定義され, 対\((\mathfrak{m}(x), [\tau_x ])\) は共形擬サブリーマン基本階別リー環(conformal pseudo-subriemannian FGLA(CPFGLA)) となる (深さ 2 以上の FGLA \(\displaystyle \mathfrak{m} =\bigoplus_{p<0} \mathfrak{g}_p\) と \(\mathfrak{g}_{−1}\) 上の非退化対称双一次形式 \(g\) に対して, 対 \((\mathfrak{m}, [g])\) を CPGLA と呼ぶ). CPFGLA の代数的延長 (Tanaka prolongation) を調べることが共形擬サブリーマン多様体の同値問題の考察の第一歩となる．CPFGLA \((\mathfrak{m}, [g])\) の延長 \(\displaystyle \mathfrak{g} =\bigoplus_{p\in\mathbb{Z}} \mathfrak{g}_p\) は, 有限次元となる. さらに \(g\) が正値であり \(\mathfrak{g}_1 \ne 0\) であるときには, \(\mathfrak{g}\) は実階数 \(1\) の実単純リー環となることが知られている. しかし, \(g\) の符号数を一般にすると \(\mathfrak{g}_1 \ne 0\)かつ \(\mathfrak{g}\) が半単純でない例が存在する. そこで, 延長が半単純である CPFGLA の分類を試みる． さらに CPFGLA と pseudo \(H\)-type Lie algebra との関連性について述べたいと思う．