モデルコース(解析学)

久保英夫

2年⽣

基本的な概念を数式で表現できるようになるのが⽬標です。
基礎数学A,B,C,D, 確率統計⼊⾨,数学講読

3年1学期

いよいよ本格的な数学への⼊⾨です。
代数学基礎, 幾何学基礎, 解析学基礎A, 数理科学基礎,数学講読

3年2学期

少しずつ専⾨的な内容になってきます。
幾何学A, 幾何学B, 解析学基礎B, 解析学A, 解析学B, 数理科学A, 統計学,数学講読

4年1学期

卒業研究が始まります。講義科⽬もあと⼀息です。
代数学B, 幾何学C, 解析学C, 解析学D, 解析学E, 数理科学B

4年2学期

卒業研究も後半に⼊り、これまでの学習の集⼤成です。解析・数理の講義科⽬をとって卒業︕
解析学F, 解析学G, 数理科学続論
注:参考書に関しては、講義との関連の中で⾃分にとってためになりそうな本を読むのが基本かと思います。

長谷部高広

2年⽣

基礎数学A, B, C, Dに加えて「確率・統計⼊⾨ 」を履修し,確率論の基礎概念を⾝につける.さらに「確率・統計⼊⾨」と平⾏して,⾃習または⾃主セミナーを開く等して「マルコフ連鎖 (ランダムウォーク)」について学んでおくことを勧める.マルコフ連鎖は確率論の⼊⾨として⾯⽩い話題で,また線形代数や級数の理論を使うので基礎数学で学んだ知識を応⽤するのにも適した話題である.時間とやる気のある学⽣は,2年⽣の頃から複素関数やルベーグ積分などの先の分野をどんどん学んでいくのが良いと思う.

3年⽣

解析学基礎A (複素関数),解析学A,解析学基礎B (ルベーグ積分),解析学F (確率論).ルベーグ積分は確率論の基礎として必須である.複素関数論を知らないと計算が難しい積分が確率論で現れるので,複素関数論も必ず学んでおいて欲しい.また,2年⽣または3年⽣対象に私が数学講読を開講する場合があるので,4年⽣で研究室に来たい⼈は受講して欲しい.

4年⽣

解析学C (測度論) は受講して欲しい. 時間とやる気があれば解析学D,解析学G, 数理解析学続論 (バナッハ空間論)も受講して欲しい.
卒業研究: 幾つかの選択肢を提⽰するが,これらに限るというわけではない.

  • 解析学Fの延⻑として,確率過程論や確率解析 (ブラウン運動,伊藤の積分,確率微分⽅程式など) を学習する.
  • マルコフ連鎖の発展的な内容を学ぶ.
  • ⾮可換確率論(私の専⾨)について学ぶ.この分野では関数解析の知識が必須なので,解析学Dと数理解析学続論(バナッハ空間論) を受講して欲しい.

⼤学院

卒業研究よりも発展的な内容を学習/研究する.研究ではどのような知識が必要になるか予想できない場合も多い.代数学,幾何学を含めて広く数学を知っていると有利なので,学部⽣の時から上に挙げていない科⽬も受講したり,⾃習等によって沢⼭勉強しておくことを勧める.例えば私の場合,現
在は確率論と関数解析に加えてグラフ理論,組合せ論,表現論,複素関数論,常微分⽅程式論などを使って研究しています.

推薦図書

マルコフ連鎖: R.B. シナジ「マルコフ連鎖から格⼦確率モデルへ」(ルベーグ積分を学ぶ前でも読めると思います) 解析学基礎B・解析学C: ⻄⽩保敏彦「測度・積分論」,W. Rudin “Real and Complex Analysis”解析学F: ⾈⽊直久「確率論」 より発展的な内容の図書については,
https://www.math.sci.hokudai.ac.jp/~thasebe/index-japanese2.html を参照するか,直接私に質問してください.

正宗淳

リーマン多様体上の解析学,均質化法,形状最適化を学びたい学生を主な対象としています.

3年生

幾何学基礎(曲線と曲面の幾何学),解析学A,解析学基礎B (ルベーグ積分),幾何学A(多様体)

4年生

解析学C (測度論)と解析学D(関数解析入門),余力があれば,解析学G(フーリエ解析), 数理解析学続論 (バナッハ空間論)

  • 2年生,3年生を対象に数学講読を開講することがあります。過去のテーマは「中心極限定理」,「フーリエ変換とその応用」など.

推薦図書

3年生~4年生

  • 松本幸夫 『多様体の基礎』 東京大学出版会
  • 村上信吾『多様体』共立出版
  • シンガー=ソープ『トポロジーと幾何学入門』 培風

4年生~

  • 畔上秀幸『形状最適化問題』森北出版
  • ミルナー 『モース理論;多様体上の解析学とトポロジーとの関連』吉岡書店
  • Gregoire Allaire,『Shape Optimization by the Homogenization Method』Springer
  • Alexander Grigoryan 『Heat Kernel and Analysis on Manifolds』 (AMS/IP Studies in Advanced Mathematics)