研究者情報

吉永 正彦

教授

Masahiko Yoshinaga

空間の形を数える

数学部門 数学分野

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研究テーマ

「空間(図形)」の形は、適切に抽出された「離散構造」(格子点、順序集合、ルート系等)と密接に関係しています。離散構造を調べる(例えば点の個数を数える)ことで「空間の形」を見ることが主なテーマです。

研究分野代数幾何学, 特異点論, 組合せ論
キーワード超平面配置, 数え上げ, 順序集合, 多面体, ルート系, マグニチュードホモロジー

数学部門 数学分野

吉永 正彦

教授

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尊敬する研究者は誰ですか?理由も教えてください。

斎藤恭司先生(京都大学名誉教授)と寺尾宏明先生(北海道大学名誉教授)です。斎藤先生は大学院生時代の指導教員です。数学的対象に対する独特の興味の持ち方、常人離れした先見の明、どんな研究でもその核心をただちにつかむ集中力を間近で見られたことは、得難い経験でした。問題意識をもって自分の頭で考え抜くことの大切さ、数学の統一性を学びました。寺尾先生は、研究者としてのキャリアを進むうえで、(とてもその域に達することはできない)完璧な手本です。そもそも学生時代に「寺尾の分解定理」と呼ばれる定理の美しさに感動したことが研究の方向性を定めるうえで決定的でした。海外でも多くの研究者が「分解定理」の影響で研究をしており、自分でもいつかそういう定理を証明したいと思います。

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いま没頭している研究テーマの紹介は何ですか?

研究の長期的な原動力となっているのは「空間や図形の形状を、離散構造を通して理解したい」という興味です。ここでいう「形を理解する」というのは、例えば「球面は穴がないけど、ドーナツには穴がある」というような、図形の違いを区別できる特徴を捉えることです。「離散的構造(を通して)」というのは、簡単に言うと「点の個数を数える」のような素朴な行為のことです。「離散構造」と「形」の関係をよりよく理解することを目指して、超平面配置やそれに関連した空間を対象にした研究を進めています。

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挑戦されている大きなプロジェクトを紹介してください。

最近研究を始めた「マグニチュードホモロジー」は、将来性に賭けてみたいテーマだと思っています。生物種の多様性を測る量、都市工学における公共施設の配置問題、統計力学や情報理論のエントロピー、トポロジーにおけるオイラー標数など色々な分野での重要概念を結びつける「距離空間のマグニチュード」が数年前に提唱されました。「マグニチュードホモロジー」はその精密化(圏化)といえます。マグニチュードホモロジーは離散的/連続的空間の区別をしない不変量なので、歴史的には区別されることの多かった連続的/離散的構造を自然につなぐ重要な役割を果たすのではないかと期待しています。