研究者情報

跡部 発

准教授

ATOBE Hiraku

保形表現を用いての整数論へのアプローチ

数学部門 数学分野

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研究テーマ

保型形式のリフティングと保型表現の分類

研究分野保型表現論
キーワード保型表現, 保型形式のリフティング, Langlands対応

研究紹介

保型形式とは豊富な対称性を持つ関数であり、L-関数の解析接続や関数等式など、多くの整数論的な情報を引き出すことができる。
私は保型形式のなす表現である保型表現を研究している。
古典群の保型表現の分類であるArthur分類は非常に難しい。
私の研究の主な目的は、保型形式のリフティングを用いて、このArthur分類をより詳しく調べることである。

代表的な研究業績

H. Atobe and W. T. Gan,
Local theta correspondence of tempered representations and Langlands parameters.
Invent. Math. 210 (2017), no. 2, 341–415.
H. Atobe,
On the uniqueness of generic representations in an L-packet.
Int. Math. Res. Not. IMRN 2017, no. 23, 7051–7068.
H. Atobe,
The local theta correspondence and the local Gan-Gross-Prasad conjecture for the symplectic-metaplectic case.
Math. Ann. 371 (2018), no. 1-2, 225–295.
H. Atobe, Pullbacks of Hermitian Maass lifts.
J. Number Theory 153 (2015) 158–229.
H. Atobe and W. T. Gan,
On the local Langlands correspondence and Arthur conjecture for even orthogonal groups.
Represent. Theory 21 (2017), 354–415.
学位博士(理学)
自己紹介

大阪出身です。

学歴・職歴2012年 京都大学理学部理学科 卒業
2014年 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻数学系 修士課程修了
2017年 京都大学大学院理学研究科数学・数理解析専攻数学系 博士後期課程修了
2017-2018年 東京大学大学院数理科学研究科 日本学術振興会特別研究員PD
2018年- 現職
所属学会日本数学会
居室理学部4号館 4-512

数学部門 数学分野

跡部 発

准教授

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いま没頭している研究テーマの紹介は何ですか?

私の研究分野は「整数論」です。特に、素数を与えられた二次形式で表すことができるか、という問に興味を持って研究しております。素数とは、1 と自分自身以外で割れない自然数のことで、二次形式とは、ax2 + bxy + cy2 のような式のことです。例えばフェルマーの二平方和定理は、奇素数 p が整数 x y を用いて p = x2 + y2 と書けることと、p を 4 で割ったあまりが1 であることが必要十分であると主張しています。同様な主張は数多く証明されていますが、二次形式が複雑になると難易度が上がり、問題の完全解決には今でも遠く及ばないという状況です。

二次形式と合同式の関係
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挑戦されている大きなプロジェクトを紹介してください。

素数を二次形式で表す問題を考えると、最も簡単な場合には、素数をある自然数で割った余りによって分類することで答えが得られます。一方で、素数 p が整数 x y を用いて p = x2 + xy + 6y2 という形に書けるか、という問題に答えるには、保型型式という概念が必要になります。保型型式とは非常に豊富な対称性を持つ関数であり、フェルマーの最終定理を示す際にも使われた最先端の道具です。現在は、この保型形式を従来とは異なる使い方をすることで、素数を二次形式で表す問題への新しいアプローチを考えています。そのために、コンピュータによる数値実験もしています。

モジュラー形式の数値計算例

 

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研究者になるまでの思い出を教えてください。

整数論の研究には、あらゆる分野の数学を使用します。そのため他の分野の専門家よりも多くの勉強をしなければなりません。私も大学 3 年生の時に、ノイキルヒの「代数的整数論」という 500 ページ以上ある専門書を約半年で読み終えました。その後の学生時代も絶えず勉強を続けていたおかげで、保型型式という敷居の高い分野の専門家になれたのだと自負しております。一方で、学生の頃は英語が苦手で、最初の海外出張の時には、ほぼ誰とも話せずに日本に帰ってきたと記憶しております。数々の海外出張をこなすことで、少しずつ英会話ができるようになり、楽しみが増えていくことを感じます。

「代数的整数論」の教科書とノート